3.2.4　实例：求解方程组

设，已知下列3个方程，对该方程组进行求解。

将上述3个方程反映在二维直角坐标系中，如图3.3所示。

图3.3　3个函数的坐标图

由图3.3可以看出这3条直线没有共同交点，因此无法直接求出该方程组的解。此时，可以通过最小二乘逼近找出一个与3条直线距离最近的一个点。

首先，通过矩阵和向量的形式来表示上述方程组方程的表达式为Ax+b=y。

上述表达式的最小二乘逼近如下所示：

根据二阶方程的性质对矩阵求逆，结果为，代入上式可得：

最终，求得矩阵的近似解为，如图3.4所示。

接下来，通过numpy.linalg.lstsq（）函数在Python中实现最小二乘逼近的求解，实现代码如下所示：

    import numpy
    A = numpy.array([[1,1],[1,-1],[0,1]])
    B = numpy.array([3,-2,1])
    x = numpy.linalg.lstsq(A,B)
    print(x)

图3.4　矩阵的近似解

运行结果如下：

    (array([0.5,2.0]),array([1.5]),2,array([1.73205081,1.41421356]))

在上述运行结果中，函数返回的4个值，从左往右分别对应以下内容：

（1）最小二乘逼近解。如果B为二维，则逼近的结果存在多个列，每一列对应一个逼近解。上述示例中，逼近解为。

（2）残差。即每一个B-Ax的长度的平方。在上述示例中，残差值为1.5。

（3）矩阵A的秩。上述示例中，矩阵A的秩为2。

（4）矩阵A的奇异值。上述示例中，矩阵A的奇异值为。