第2章 显式求解和时间步长

2.1 非线性动力学基本理论

Radioss用于非线性动力学问题的求解，本章首先介绍一下非线性有限元理论中涉及的平衡方程、质量矩阵和刚度矩阵。

1.平衡方程

对于任意形状的物体，在力的作用下的运动满足力的平衡方程。

式中，τ_i是作用于物体表面积Γ上的力，比如接触力；b_i是作用于物体上的加速度，此项用于描述体积力，如重力，如图2-1所示。

这样方程左边将作用于物体上的所有力都考虑到了，这些力会导致物体产生运动和形变。方程右边就是物体运动的惯性力。

通过高斯定理可得

即表面积力可以描述为体积力在以n为法向的表面上的投影，这样表面积力可以转换为体积力的表达方式：

由于体积是任意的，所以用差分法可以将式（2-1）描述为

有限元模型用于求解一些局部空间的近似解，这种近似方法的第一步是用等价的弱形式代替平衡方程。使用适当的检验函数（δv_i）乘以微分方程并进行积分：

展开后为

式（2-6）第一项进一步展开为

所以式（2-5）可以表达为

这就是通过平衡方程边界条件以及连续性得出的用于有限元的弱形式，也就是使用了虚功原理，从实际物理意义出发，式（2-8）描述的是虚功为虚内力功、虚外力功和虚惯性力功之和，即

即

在有限元中使用形函数Φ来进行近似计算。这里的检验函数也可以用形函数近似表达为

对使用形函数的变量求导只需要对形函数求导即可，所以使用形函数的弱形式可以表达为

即

2.质量矩阵M

平衡方程式 （2-12） 中的惯性力是质量和加速度的乘积。 在惯性力中， 加速度（即位移x_i对于时间的二次导数） 用形函数Φ来描述， 那么在中除去加速度的部分就是常说的质量矩阵M。

在数值计算中用积分点求和的方式近似计算函数f（ξ）的积分。

式中，w_j是每个积分点的权重；n是积分点个数。

所以式（2-17）中的质量矩阵M在数值计算中可以表达为

3.刚度矩阵K

式（2-12）中的σ_ji用材料属性代替，即

式中， C_ijkl是材料矩阵 （张量）； ε_kl是应变， 可以用（节点在前后两个时刻之间的相对位移，也可用v表示）。

那么内力表示为

用B矩阵表示形函数Φ的偏导矩阵，则有

所以不考虑阻尼的情况下，平衡方程可以描述为

考虑阻尼的一般公式为