1.数量经济学理论与方法

1.1 指数平滑模型的时间延迟及矫正

贾雨文 武义青^[1]

摘要：本文讨论了指数平滑模型的时间延迟值的计算，讨论了布朗多项式平滑预测模型产生的时间波动问题，证明了在平稳状态下多项式模型的时间波动可以自行消除，建立了预测步长矫正值的计算方法。

关键词：指数平滑模型 时间延迟 多项式模型

1.1.1 时间序列数据处理中的时间延迟问题

随手打开一幅股票或期货交易的图表，马上可以看到一些数日均值的曲线，在时间上明显落后于实际交易数据的连线，而且平均日数越长，时间延迟量越大。这种经济数据在时间上不同步的现象非常不利于现实的经济活动分析，更不利于深入的理论研究。

对于平均日数确定的平均值的计算，它的时间延迟量也是确定的，比较容易处理。例如，对一个五日平均的经济量

若X_n发生的时刻为t_n，则对应的时刻值应为

特别地，若时间间隔等距离，不妨设t_n=n，则可简化为

即对应的时刻比X_n延迟了两个时间单位。

有了对应的时刻值，就可以用平行位移或多项式插值一类方法计算出在真实时刻t_n上的对应值。这样，相关的经济数据在时间上就是同步的，便于分析研究。

指数平滑与预测方法，是时间序列经济活动分析中应用很广的一种定量分析方法。它的时间延迟值的计算和矫正就比较烦琐，本文就讨论并解决这一问题。

1.1.2 指数平滑公式

设在时刻t₁，t₂，…，t_n，…上定义一族经济量X₁，X₂，…，X_n，…。通常t_n间可以不等距，但要求t_n＜t_n+1。取定常数α，0＜α＜1，称为平滑系数，人们称下式为指数平滑公式。

进而若记s^（0）_n=x_n，对p≥1，则有p阶指数平滑公式

s^p_n=αs^（p-1）_n+（1-α）s^（p）_n-1（n≥2，p≥1）　　　　　　（2）

直接用（1）（2）式去平滑处理数据，发现它们存在明显的时间延迟现象。以下，我们讨论这种时间延迟值的计算和矫正方法。

1.1.3 指数平滑公式时间延迟后的时间值的计算

容易看出，（1）式中对应的时刻不再是t_n，而是

类似地，s^（p）_n对应的时刻应为

其中，。称和为平滑延迟后的时间值。

特别地，若t_n是等间距的，不妨简记为t_n=n，即用时间序号表示时刻值，则反复使用母函数方法，可以得到

式中，β=1-α。

计算是一件很烦琐的工作，我们计算到p=4，已能满足大部分经济分析的需要。下面研究一般的的基本性质，以利于理论的研究。若记，，我们有如下的结论：

定理1：

证明：使用数学归纳法。由公式（4）知，当p=1，2，3，4时，定理成立。现设p=m-1时，定理成立，往证p=m时定理也成立。

令n→∞，即得

即p=m时，定理也成立，由数学归纳法法则，定理得证。

定理1表明在n充分大时，接近于，即p阶指数平滑公式的时间延迟值接近于。在n充分大时，可以近似使用这一结果。我们以后的重点转向n取值不太大时，时间延迟值的计算和矫正。

1.1.4 公式（4）的检验

定理2：（4）式中的4个式子满足（3）式的条件。

证明：我们是由时间等距，且取t_n=n时，推导出（4）式的。即有

p=1时

（3）式成立

p=2时

（3）式成立

p=3时

（3）式成立

p=4时

（3）式成立

定理证毕。定理表明（4）式中的4个的表达式是正确的，可以放手使用。

1.1.5 多项式预测模型

指数平滑预测模型计算出的s^（p）_n对应的时间值是，在n很大时也不能消除时间延迟值，所以直接用s^（p）_n作预测分析很不方便。一般情况下，人们采用下述的布朗多项式进行平滑和预测计算。

其中τ为预测的步长，τ=0时，（5）式退化为平滑公式。

（5）式中的和（2）式中的s^（p）_n的互换关系，由下述重要的基本定理所确定。^[2]

定理3：（2）式定义的s^（p）_n和（5）式定义的k阶多项式各系数（0≤m≤k）之间有关系

其中，p=1，2，…，k+1，β=1-α。

由（6）式的k+1个方程联立求解，就可以把（5）式中的（m=0，1，2，…，k）解出来。我们可以用前4个s^（p）_n，解出4组来，可以建立3个预测公式，1个平滑公式。在各预测公式中，取τ=0，也可以当平滑公式使用。公式阶数越高，平滑和预测精度越高。

k=0时，

　　平滑公式

k=1时，

k=2时，

k=3时，

1.1.6 多项式预测模型的时间问题

在k=0平滑模型中，，前面已算出它对应的时刻值是。在k≥1的预测模型中，各个s^（p）_n对应的时刻值是，所以把各个表达式中的s^（p）_n换成，就可以导出对应的时刻值。例如，在k=1时，有

将相应的的表达式代入，经过整理，可得：

k=1时，

T^（1）_n+τ=n+τ-{（n-1）βⁿ+［nβ^n-1-（n-1）βⁿ］τ}

T^（0）_n=n-（n-1）βⁿ

T^（1）_n=1-nβ^n-1+（n-1）βⁿ

k=2时，

k=3时，

容易证明，当k=1，2，3时，有

即当时间足够长时，多项式预测模型（5）的时间波动现象会自己消失，这是多项式模型（5）比简单的指数平滑模型（1）和（2）优越之处。

下面，我们将要证明，（7）式的结果可以推广到k为任一正整数的情形，即只要时间足够长，任一阶的多项式预测模型（5）的时间波动都会自行消失。这一结果，由下述定理表述。

定理4：整数k≥1时，关系式（7）恒成立。

因s^（p）_n和之间由关系式（6）相联系，它们各自的时刻值和T^（m）_n也应满足类似的关系式

式中T^（m）_n（k）是k阶预测公式中出现的T^（m）_n。

由定理1，当n充分大时，可以用代替。而当k≥1时，若总有T^（0）_n（k）→n，T^（1）_n（k）→1，对l≥2，有T^（l）_n（k）→0。它们若是（8）式的解，即若下述（9）式成立，定理4就证明了。

先证明以下引理。

引理：

证明：可以检验得m=1，2，3时，引理成立。用数学归纳法，不妨设m=k时（10）和（11）式成立，只要证明m=k+1时两式也成立就可以了。

由数学归纳法知，（10）式已得证。

同样，由数学归纳法，（11）式也得证。引理证毕。

以下再转回定理4的证明。把引理的结果用到（9）式右端的表达式中

即计算出（9）式左端的结果，（9）式成立。由上面的分析，定理4得证。

在n比较小时，（7）式的结果不能用，T^（k）_n+τ的值还得仔细计算。

1.1.7 矫正步长的计算

我们上面讲到多项式预测模型（5）计算出的并不是对应时刻n+τ时的值，而是T^（k）_n+τ时的值。容易想到，在（5）式中若用一矫正步长l代替τ，则可以对应n+τ时的预测值，l=l（τ，n，β）。现在讨论l的计算。把l代入T^（k）_n+τ表达式应有

由于n总含在T^（0）_n中，记T^*_n=T^（0）_n-n，即有

若此k次多项式有实数根，则矫正步长l就可以由（12）式解出来。

k=1时，

k=2时，

k=3时，

对一个一般的三次方程

al³+bl²+cl+d=0　　　　　　（14）

引入变换，

可得著名的卡尔丹公式y³+py+q=0

其中

其可能存在的实根为

对比（13）和（14）式，（13）式对应的p，q为

矫正步长l可计算的条件是：以上各式的分母不能取0值，开平方项不能取负值。

表1列出了β=0.5时，k=1和k=2对应的矫正步长的值，可窥其取值规律。而k=3时，有负项开平方的现象，无法计算其l值。

表1 β=0.5时的部分l值

续表

1.1.8 矫正步长的迭代计算

上述计算矫正步长l的解析表达式，在k=1时计算没有困难。在k=2，k=3时，实际计算则遇到困难：其一是表达式分母在n增大时趋于0，造成计算结果不稳定，在表1中可以看到这一情形；其二是可能遇到负项开平方的情况，给实数解求解造成困难，在β=0.5，k=3时就发生了这种情形。

由于在n→∞时，无论对k=2或k=3，均有T^（1）_n→1，T^（2）_n→0，T^（3）_n→0，T^*_n→0，我们设计了下面的迭代方法，可以得到精确度很高的l的近似解。

k=2时，取定初值

注意迭代时，τ，T^*_n，T^（1）_n，T^（2）_n都是固定不变的。对给定的误差σ＞0，|l_k+1-l_k|＜σ时，终止迭代。

对β=0.5，k=2，τ=3的情形，用（15）式迭代4次，其结果也列在表1中。可见到，在n较小时能较快的逼近解析表达式的计算结果，在n较大时，计算结果稳定。

k=3时，初值

|l_k+1-l_k|＜σ时，终止迭代。

（15）和（16）式均对迭代收敛，本文不讨论严格的论证。

参考文献

［1］邓志刚，汪星明.1994.社会经济系统工程.北京：中国人民大学出版社。

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[1] 贾雨文（1938.1～），男，河北科技大学教授；武义青（1962.9～），男，博士，河北经贸大学校长助理，研究员，中国数量经济学会常务理事。

[2] 邓志刚，汪星明（1994）。