5.4 基于线性矩阵不等式的单级倒立摆T-S模糊控制

线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）是控制领域的一个强有力的设计工具。许多控制理论及分析与综合问题都可简化为相应的LMI问题，通过构造有效的计算机算法求解。

随着控制技术的迅速发展，在反馈控制系统的设计中，常需要考虑许多系统的约束条件，如系统的不确定性约束等。在处理系统鲁棒控制问题以及其他控制理论引起的许多控制问题时，都可将所控制问题转化为一个线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式约束的最优化问题。目前线性矩阵不等式（LMI）技术已成为控制工程、系统辨识和结构设计等领域的有效工具。利用线性矩阵不等式技术来求解一些控制问题，是目前和今后控制理论发展的一个重要方向。YALMIP是MATLAB的一个独立的工具箱，具有很强的优化求解能力。

采用T-S模糊系统进行非线性系统建模的研究是近年来控制理论的研究热点之一。实践证明，具有线性后件的Takagi-Sugeno模糊模型以模糊规则的形式充分利用系统局部信息和专家控制经验，可任意精度逼近实际被控对象。T-S模糊系统的稳定性条件可表述成线性矩阵不等式LMI的形式，基于T-S模糊模型的非线性系统鲁棒稳定和自适应控制的研究是控制理论研究的热点。本节针对T-S模糊控制问题，在MATLAB下采用LMI工具箱YALMIP进行LMI设计和仿真。

5.4.1 LMI不等式的设计及分析

定理5.1[1]：存在正定阵Q，当满足下面条件时，T-S模糊系统（5.7）渐近稳定

其中，Vi=KiQ，即Ki=ViQ-1=ViP，Vj=KjQ，即Kj=VjQ-1=VjP。

定理5.1的给出见文献[1]。根据式（5.13），利用LMI方法可求出控制器式（5.9）的增益Ki。下面给出定理1的具体证明过程。

证明：

取Lyapunov函数

其中，矩阵P为正定对称矩阵。

则有

将控制律式（5.5）代入上式，可得

考虑i=j和i≠j两种情况，将式展开，得

注：以r=2为例，可得如下展开

由于i和j交换不影响结果，则

从而

则

P（（Ai＋BiKj）＋（Aj＋BjKi））]x

令Gij=（Ai＋BiKj）＋（Aj＋BjKi），可得

则当满足如下不等式

有。

由式（5.14）可见，当时，x≡0，根据LaSalle不变性原理，t→∞时，x→0。

5.4.2 不等式的转换

首先考虑（Ai＋BiKi）TP＋P（Ai＋BiKi）＜0，i=j=1，2，…，r。取Q=P-1，则Q也是正定对称矩阵，令Vi=KiQ，则

上式中的每个式子两边分别乘以P-1，得

即

即

然后考虑，Gij=（Ai＋BiKj）＋（Aj＋BjKi），i＜j≤r。取Q=P-1，则Q也是正定对称矩阵。令Vi=KiQ，Vj=KjQ，则

（（Ai＋BiKj）＋（Aj＋BjKi））TP＋P（（Ai＋BiKj）＋（Aj＋BjKi））＜0

上式中的每个式子两边分别乘以P-1，并考虑Q=QT，得

QT（（Ai＋BiKj）＋（Aj＋BjKi））T＋（（Ai＋BiKj）＋（Aj＋BjKi））Q＜0

即

（AiQ＋BiKjQ＋AjQ＋BjKiQ）T＋AiQ＋BiKjQ＋AjQ＋BjKiQ＜0

从而得

（AiQ＋BiVj＋AjQ＋BjVi）T＋AiQ＋BiVj＋AjQ＋BjVi＜0

即

5.4.3 LMI设计实例

分别考虑摆角小角度（实例1）和摆角大角度（实例2）两种情况。

实例1　如模糊系统由2条模糊规则构成，r=2，有i=1，2，根据式（5.16），则LMI不等式如下

针对i＜j≤r，有i=1，j=2，只有2条规则隶属函数相互作用，根据式（5.17），则可设计1条LMI不等式如下

根据式（5.18）和式（5.19），倒立摆的LMI可表示为

其中，K1=V1P，K2=V2P，i=1，2。

在MATLAB下采用YALMIP工具箱进行仿真。上述LMI写成MATLAB程序如下：

实例2　如模糊系统由4条模糊规则构成，r=4。考虑单条规则，有i=1，2，3，4，根据式（5.16），则可构造4条LMI不等式如下

针对i＜j≤r，根据式（5.17），可能存在的不等式如下

i=1，j=2，i=1，j=3，i=1，j=4；i=2，j=3，i=2，j=4；i=3，j=4

设计LMI不等式时，应考虑隶属函数i和隶属函数j是否有隶属函数相互作用。

如图5.3所示，为具有4条规则的隶属函数示意图，隶属函数有交集的规则分别是规则1和2，规则3和4，带有交点的规则才能构成一个不等式。故针对i＜j≤r，根据式（5.17），只能构造2个LMI，所对应的LMI不等式如下

其中，K1=V1P，K2=V2P，K3=V3P，K4=V4P，i=1，2，3，4。

写成MATLAB程序如下：

采用PDC方法，根据式（5.11），基于T-S型的模糊控制器为

u=h1（x1）K1x（t）＋h2（x1）K2x（t）＋h3（x1）K3x（t）＋h4（x1）K4x（t）

5.4.4 基于LMI的倒立摆T-S模糊控制

考虑摆角为（-π，π）时的运动情况（即实例2）。隶属函数应按图5.3进行设计。仿真中采用三角形隶属函数实现摆角度x1（t）的模糊化，隶属函数设计程序为chap5_4.m。

被控对象为式（5.12），摆角初始状态为[π 0]。采用LMI求解工具箱——YALMIP工具箱（见附录介绍），针对倒立摆的4条T-S模糊模型规则，求解线性矩阵不等式（5.20）和（5.21），控制器增益的LMI求解程序为chap5_5LMI_design.m，求得Q，V1，V2，V3，V4，从而得到状态反馈增益：K1=[3301.3　969.9]，K2=[6366.3　1879.7]，K3=[-6189.6　-1883.7]，K4=[-3105.2　-969.9]，然后运行Simulink主程序chap5_5sim.mdl，仿真结果如图5.6~图5.8所示。

仿真程序：

隶属函数设计程序：chap5_4.m

控制系统仿真程序：

（1）基于LMI的控制器增益求解程序：chap5_5LMI_design.m

（2）Simulink主程序：chap5_5sim.mdl

（3）模糊控制S函数：chap5_5ctrl.m