2.2　具有反馈通道丢包的网络化系统的滚动时域状态估计

2.2.1　问题描述

本小节针对反馈通道存在数据包丢失的情况，研究远程被控对象状态无法测得时的状态估计问题。由于传感器到控制器之间的数据包是经过一个不可靠的共享网络进行传输，所以不可避免地存在数据包丢失现象。为了这一研究目标，建立一个典型网络化控制系统，如图2-1所示。其中，这个网络化控制系统是由传感器、不可靠共享网络、估计器、控制器和被控对象构成。首先，考虑如下离散时间线性时不变系统：

如图2-1所示，传感器在每一采样时刻测量系统输出并通过不可靠共享网络将其传送至远程估计器。然而，在数据包传输过程中，不可避免地存在数据包丢失现象，这里仅考虑传感器与估计器之间的数据包丢失而没有考虑控制器与被控对象之间的数据包丢失。不失一般性，不可靠共享网络可以看作一个在随机模式下闭合和断开的开关^[7]，其中开关闭合表示通道没有丢包，以及开关断开表示通道存在丢包。这样，在任意k时刻，当系统输出（k）成功传输到远程估计器时，则有y（k）＝（k）。反之，当数据包丢失时，估计器采用零阶保持器（Zero Order Holder，ZOH），保持前一时刻的数据，即y（k）＝y（k－1）。由上所述，得到下列具有随机丢包的网络化控制系统模型：

其中，随机变量γ（k）表征由不可靠共享网络传输数据时数据包的到达状态，并且满足在0与1间取值的Bernoulli分布，从而有

其中，γ表示数据包的到达概率，γ（k）＝1表示k时刻无丢包，而γ（k）＝0表示k时刻有丢包；E·表示期望算子。此外，假设随机变量γ（k）与噪声、系统状态以及系统输入输出之间相互独立。显然，在k时刻估计器已知传感器的数据包是否发生丢失，也就是说，估计器已知k时刻数据包的到达状态γ（k）[通过比较y（k）与y（k－1）的值可知到达状态γ（k）]。

备注2.1　在文献[1，6]中，Kalman滤波器的更新模型依赖于是否得到当前k时刻的数据包，而没有考虑数据包发生丢失时测量数据的补偿问题，且给出了一个相对简单的丢包模型。然而，这里所描述的丢包模型（2-2）考虑了数据包丢失的补偿策略，即当k时刻的数据包发生丢失时采用k－1时刻的观测数据y（k－1）作为当前观测数据y（k）以补偿丢包带来的影响，这样显得更加合理。这种策略可以由零阶保持器实现。此外，如果该模型（2-2）用于文献[1，6]，那么将不能得到相关的结论。

综合公式（2-1）与公式（2-2），得到了具有随机丢包的网络化控制系统模型，下面将基于此模型研究具有随机丢包的NCSs的状态估计问题。由于本小节没有考虑控制器的设计，因此为了分析估计误差的稳定性，假定对于任意噪声{w（k）}与{v（k）}存在一个初始状态x（0）和控制序列u（k），使得状态轨迹x（k）保持在一个紧凸集X里。

备注2.2　对于满足Bernoulli分布的随机变量γ（k），其具有以下一些性质：var[γ（k）]＝γ（1－γ），E[γ²（k）]＝γ，E{[1－γ（k）]²}＝1－γ，E{γ（k）[1－γ（t）]}＝γ（1－γ），k≠t等。

2.2.2　网络化滚动时域状态估计器设计

为了克服数据包丢失带给网络化控制系统的不确定性影响，本节介绍了一种新颖的状态估计方法，即基于滚动时域优化策略的网络化滚动时域状态估计（MHE）^[13]。不同于其它估计方法，滚动时域状态估计是基于滚动窗口内一段最新输入输出数据的优化问题，而非仅利用当前时刻输入输出数据，如图2-2所示。

备注2.3　在性能指标（2-4）中，权矩阵M和R可以看作文献[14]中标量μ的扩展。另外，权矩阵M和R的引入给估计器设计带来了更多的自由度，能够更好地补偿数据包丢失而产生的不确定性影响。与其它估计方法相比，其独特之处在于：当数据包发生丢失时，它能够利用滚动窗口内一段最新输入输出数据而非前一个时刻的数据^[17]或直接置为零^[1，6]，参与估计器的设计。

备注2.4　为了便于分析，本小节只考虑了数据包的到达概率γ为常数的情况，即γ不随时间的变化而变化。由公式（2-6）可以看出：数据包丢失影响了优化问题2.1的优化变量，即最优状态估计值，并使得估计性能变差；不过，通过合理调节权矩阵M和R，该滚动时域估计方法能够克服系统噪声和测量噪声以及补偿数据包丢失带来的不确定性。

下面将具体分析数据包的到达概率γ对估计性能的影响，以及通过求解一个线性矩阵不等式得出合适的惩罚权矩阵M和R，以保证估计器具有良好的估计性能。

2.2.3　估计器的性能分析

本小节主要讨论数据包丢失情况下的网络化控制系统的估计性能。首先定义k－N时刻的估计误差：

　　（2-8）

正如公式（2-6）所述，估计误差的动态是一个关于随机变量γ（k）的随机过程，因此定理2.1将给出一个估计误差欧氏范数平方期望的结论。

定理2.1　考虑上述系统（2-2）以及由公式（2-8）所表示的估计误差，如果代价函数（2-4）中的惩罚权矩阵M和R使得不等式（2-9）成立：

若不考虑系统噪声和测量噪声，即η_w＝0和η_v＝0，则根据定理2.1，给出如下的一个推论：

推论2.1　考虑上述系统（2-2）以及由公式（2-8）所表示的估计误差，假定不存在系统噪声和测量噪声，即η_w＝0和η_v＝0，如果代价函数（2-4）中的惩罚权矩阵M和R使得不等式（2-36）成立：

a＝8f^－1ρ<1　　（2-36）

由推论2.1可以看出：如果被控对象模型（2-1）不存在噪声，则所得到的最优估计器可以看作一个指数观测器，并且条件（2-36）成立时估计误差范数平方的期望指数收敛于0。

2.24　数值仿真

本小节给出一个数值仿真例子，以验证所提估计方法的有效性。考虑文献[16]中的一个离散线性系统，其状态空间模型可描述成如下形式：

为了便于仿真结果的比较，则考虑如下的性能指标——均方根误差（RMSE）：

如图2-3与图2-4所示，尽管数据包到达概率是固定不变的，即每一采样时刻数据包到达概率相同，但是在整个仿真时间段内，每次实验成功到达的数据包序列有所不同，以致依靠每次实验数据求解得到的状态估计结果都略有不同。不过，所幸不同实验得到的估计结果均能够很好地表征实际的状态值。因此，图2-5～图2-10所给出的仿真结果都是在平均意义下的结果。与文献[17]中的滚动时域方法相比，其相应的比较结果显示在图2-5～图2-8中。其中，由图2-5和图2-6可知，本章节所提出的估计方法要明显优于Rao等人提出的估计方法^[17]，并且所求出的状态估计值更逼近实际状态值。

其次，由图2-7与图2-8所示的性能指标，可以进一步看出：无论在均方根误差（RMSE）性能还是在二次型性能指标，由本节所提出的滚动时域估计方法明显地要好于文献[17]中的估计方法。图2-9和图2-10给出了基于所提滚动时域方法，在不同的数据包到达概率情况下的状态估计结果。很显然，随着数据包到达概率的减小，估计性能明显地变差。具体地说，当γ＝1时，此时估计器的估计性能最好，而当γ＝0时，其估计性能最差。虽然本节提出采用滚动时域估计方法克服数据包丢失而带来的影响，但是仅在一定程度上减弱了其影响，并不能完全消除其不确定性，因为毕竟数据包丢失导致缺少了有用的数据信息，从而使得估计性能肯定比没有信息缺少情况下的估计性能要差。简言之，有用信息丢得越多，所设计的估计器性能越差。