2.2　课后习题详解

1．已知。

（1）计算偏导数，。

（2）求出上述偏导数在，处的值。

（3）写出的全微分。

（4）计算时的值——这意味着当保持不变时，与的替代关系是什么？

（5）验证：当，时，。

（6）当保持时，且偏离，时，和的变化率是多少？

（7）更一般的，当时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？

解：（1）对于函数，其关于和的偏导数分别为：

，

（2）当，时，（1）中的偏微分值分别为：

，

（3）的全微分为：

（4）当时，由（3）可知：，从而可以解得：。

（5）将，代入的表达式，可得：。

（6）由（4）可得，在，处，当保持不变，即时，有：

（7）当时，该函数变为：，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（，）处的斜率为：。

2．假定公司的总收益取决于产量（），即总收益函数为：；

总成本也取决于产量（）：。

（1）为了使利润（）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？

（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。

（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。

解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

从而可以解得利润最大化的产量为：；

相应的最大化的利润为：。

（2）在处，利润最大化的二阶条件为：，因而满足利润最大化的二阶条件。

（3）在处，边际收益为：；

边际成本为：；

因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。

3．假设。如果与的和是1，求此约束下的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。

解：（1）代入消元法

由可得：，将其代入可得：。

从而有：，可以解得：。从而，。

（2）拉格朗日乘数法

的最大值问题为：

构造拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：，因而有：。

4．对偶函数为：

利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。

解：设最小化问题的拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而有：，，从而可以解得：。

5．以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间（）的函数：

其中，是由重力所决定的常数。

（1）小球处于最高处的时间如何取决于参数？

（2）利用你在（1）问中的答案来描述：随着参数的变化，小球的最大高度如何变化。

（3）利用包络定理直接给出（2）问中的答案。

（4）在地球上，，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？

解：（1）对高度函数关于时间求导数可得：

从而可以解得使高度最大的时间为：，从而可知小球处于最高处的时间与参数成反比例关系。

（2）将代入高度函数中可得：

从而有：，即：随着的增大，最大高度将变小。

（3）由包络定理可知：取决于，因为取决于。

因而有：。

（4）当时，最大高度为：；

当时，最大高度为：；

因而两地最大高度的差异为：。

6．制作一个油轮模型的一个简单的方法是，首先选择一块宽为英尺、长为英尺的长方形钢板，接着在每个角处减去一个边长为英尺的正方形，然后叠起剩余的四边做成一个无盖的托盘。（如图2-1所示，去掉阴影部分的四个边长为的正方形，然后叠起）

图2-1  油轮模型的制作

（1）验证：该托盘可装油的体积为：

（2）应该如何选择，才能使给定下的最大？

（3）是否存在一个使得所装油的体积最大？

（4）假设一个造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的钢板来建造一个油轮。该约束条件可以用方程来表示（因为可以将去掉的钢板做退回处理）。如何将该受约束的最大化问题的解与（2）和（3）问中的解进行比较？

解：（1）如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为的正方形后叠起来的托盘是一个长方体，该长方体的长为（），宽为（），高为，因而其体积为：

（2）由体积函数为，体积最大化的一阶条件为：

从而可以解得：，即：，。

二阶条件为：，只有当时，才有。

即只有当才能使给定下的最大。

（3）当时，。因而当增大时，随之增大，没有极限。因此，不存在一个使得所装油的体积最大。

（4）受约束的最优化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的、。显然，该受约束的最大化问题的解将有别于（2）和（3）中求解出来的解。

7．考虑如下受约束的最优化问题：

其中是一个可以被赋予任何特定值的常数。

（1）验证：如果，则此问题可以视为仅包括一个等式约束的问题的求解。

（2）验证：当时，此问题的解要求。

（3）如果此问题的解须为非负，则当时，最优解是什么？

（4）当时，此问题的解是什么？通过将此解与（1）问中的解比较，你可以得出什么结论？

（注意：此问题涉及“拟线性函数”。这样的函数提供了消费者理论中的某些类型的消费行为的重要例子。）

解：（1）设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：，即。当时，最优解为：。

（2）当时，由（1）中的一阶条件可以解得：，，因此结论成立。

（3）如果此问题的解非负时，最优解为：，，。因为任何正的的值都将使变小。

（4）如果，则由（1）可得最优解为：，。因为给提供了一个递减的边际增量，而却没有，所以，所有的最优解要求一旦增至5，额外的增量应该全部由的增加来实现。

8．证明：如果是一个凹函数，它同时也是一个拟凹函数。可以通过比较方程2.114（定义拟凹性）和方程2.98（定义凹性）来完成验证。你能给出这个结论的一个直观的解释吗？拟凹函数必然是凹的吗？

方程2.98为：；

方程2.114为：。

证明：（1）由凹函数和拟凹函数的定义可知：

函数，对定义域（凸集）上任意两点，，，如果有

，则称函数为凹函数。

函数，对定义域（凸集）上任意两点，，，如果有，则称函数为拟凹函数。

可知，对于凹函数有：

因而可以从凹函数推出拟凹函数，反之，则不成立。

（2）直观的，从图形上看，函数为拟凹表示线段、之间的点的函数值要高于点，或者说曲线之间的点都高于点。显然，当函数是凹函数，曲线呈一个倒置的锅，则上述性质是满足的。从这一点看，凹函数一定是拟凹函数。但是，这不是必要的。如图2-2所示，在曲线段，函数是凹的；而在段，函数是凸的。这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。

图2-2  凹函数与拟凹函数

9．柯布-道格拉斯函数：，其中，和都是小于1的正的常数。

（1）利用方程计算，从而验证该函数是一个拟凹函数。

（2）通过验证任何（为任何正的常数）的上水平线都是凸的，从而任何满足的集合都是凸的，来验证柯布—道格拉斯函数是拟凹函数。

（3）验证：如果，则柯布—道格拉斯函数不是凹函数（从而表明不是所有的拟凹函数都是凹函数）。

证明：（1）分别对柯布-道格拉斯函数求一阶、二阶导数可得：

从而可得：，因而可知柯布-道格拉斯函数是一个拟凹函数。

（2）如果，则，因而当、时，是的凸函数。关于拟凹函数的一个重要性质是，如果函数是拟凹的，则当且仅当集合是凸集，其中是任意常数。集合

为函数的上等值集合。

（3）由方程2.98可知：

当时，该式是负的，因而此时函数不是凹函数，从而可知，并非所有的拟凹函数都是凹函数。

10．幂函数，其中，（有时，也可以考虑为负的情形，此时利用来确保导数有恰当的符号）。

（1）证明：此函数是凹函数。注意到当的特殊情况，以及仅当时，该函数才是“严格”凹的。

（2）证明：幂函数的多元形式也是一个凹函数（和拟凹函数）。解释在这种情况下，为什么使得凹形的确定变得极其简单。

（3）一种将“规模”效应融入该函数的方法是，对（2）问中的函数进行单调变换：

其中，是一个正的常数。这种变换是否仍保持函数的凹性？是拟凹的吗？

证明：（1）当时，因为，，所以此时函数是严格凹函数。

（2）对于幂函数，有：，；，

。

因为，，且，所以满足，因而该函数是凹函数。

（3）因为是拟凹函数，所以是拟凹函数。但是，当时，不是凹函数。所有这些结论可以通过对的偏微分以及方程和来验证。