2.2 系统的分类

2.2.1 系统的初始状态

在讨论连续系统的分类之前，首先讨论引起连续系统响应的初始状态（条件），其基本概念也可用于离散系统。“初始”实际是一个相对时间，通常是指一个非零的电源接入电路系统的瞬间，或电路发生“换路”的瞬间，可记为t=t0。为讨论问题方便，一般将t0=0作为“初始”时刻，并用0–表示系统“换路”前系统存储的初始状态，用0+表示“换路”后系统响应的初始条件。

下面以电容、电感的电压、电流关系为例来理解系统初始状态与初始条件。

【例2-1】如图2-2所示简单理想电路系统，已知激励电流i（t），求响应vC（t）。

解：由电容的电压、电流关系

该式是一阶线性微分方程，解此方程可得响应为

该式说明电容电压与过去所有时刻流过电容的电流有关，因此也称电容为动态（记忆、储能）元件。要知道全部时刻的电流iC（t）是不实际的，通常要计算的vC（t）一般需要由已知某时刻t0开始到所要计算时刻t的iC（t）以及此时刻前的电容电压vC（t0）来确定，即

若t0=0，则上式成为

因此，只有已知t＞t0或t＞0时的iC（t）以及系统的初始条件vC（t0+）或vC（0+），才能求解t＞t0（t＞0）系统的响应vC（t）。

而vC（t0+）或vC（0+）与系统的初始状态vC（t0–）或vC（0–）密切相关。vC（t0–）或vC（0–）是在iC（t）时刻t=t0–或t=0–以前的作用，反映了系统在该时刻的储能。

由电容与电感的对偶关系，不难得到

以及

若t0=0，则有

与电容情况相同，该式表明电感也是动态（记忆／储能）元件。只有已知t＞t0（或t＞0）时的vL（t）以及系统的初始条件iL（t0+）、iL（0+），才能求解t＞t0（t＞0）系统的响应iL（t）。同样iL（t0+）、iL（0+）与系统的初始状态iL（t0–）、iL（0–）密切相关，iL（t0–）、iL（0–）是电压vL（t）在时刻t=t0–或t=0–以前的作用，即系统在该时刻的储能。

2.2.2 系统的响应

根据引起响应的不同原因，系统的响应可以分为零输入响应与零状态响应。

系统的零输入响应与零状态响应分别定义如下：

当系统的激励为零，仅由系统初始状态（储能）产生的响应是系统的零输入（Zero Input）响应，记为yzi（t）或yx（t）；当系统的初始状态（储能）为零，仅由系统激励产生的响应是系统的零状态（Zero State）响应，记为yzs（t）或yf（t）。

下面通过具体例题来讨论系统的响应。

【例2-2】分析如图2-2所示电路系统，且已知vC（0–）=1/2V，C=2F，电流i（t）的波形如图2-3所示，求t≥0的响应vC（t），并绘出波形图。

解：由已知条件可知，该系统既有初始储能，也有激励，所以系统响应既有初始储能产生的部分，也有激励产生的部分。从电流i（t）波形可知，i（t）除了在t=0时刻加入，在t=1及t=2还有变化，都可以理解为“换路”，因此在t=0–、t=1–及t=2–分别有三个初始状态vC（0–）、vC（1–）和vC（2–），利用电容电压无跳变，可以解出对应的三个初始条件vC（0+）、vC（1+）和vC（2+）。由此得到响应（如图2-4所示）为

例2-2是一阶微分方程描述的简单系统。可以看到，为了求解它的响应，除了知道系统的激励外，还需要知道系统的初始条件。

推论，若系统是由n阶微分方程描述的，则求解响应除了激励外，还必须知道系统的n个初始条件（状态）。

n阶线性微分方程的一般形式为

若初始条件（0+）（j=0，1，…，n–1）或（0–）（j=0，1，…，n–1）已知，要根据给定的初始条件来求解系统的零输入响应。

2.2.3 系统的分类

1．动态系统与静态系统

含有动态元件的系统是动态系统，如RC电路、RL电路。没有动态元件的系统是静态系统，也称即时系统，如纯电阻电路。

动态系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，还与该时刻以前的激励有关；静态系统在任意时刻的响应仅与该时刻的激励有关。描述动态系统的数学模型为微分方程，描述静态系统的数学模型为代数方程。

2．因果系统与非因果系统

因果系统满足在任意时刻的响应y（t）仅与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。也可以说，因果系统的响应是由激励引起的，激励是响应的原因，响应是激励的结果，响应不会发生在激励加入之前，系统不具有预知未来响应的能力。例如系统的激励f（t）与响应y（t）的关系为，这是一阶微分方程，而响应与激励的关系是积分关系，则该系统是因果系统。响应与激励具有因果关系的系统也称为物理可实现系统。

如果响应出现在激励之前，那么系统就是非因果系统，也称为物理不可实现系统。例如如图2-5（a）所示系统的响应与激励的关系为y1（t）=f1（t–1），响应出现在激励之后，则系统是因果系统；而如图2-5（b）所示系统的响应与激励的关系为y2（t）=f2（t+1），响应出现在激励之前，那么该系统就是非因果系统。

一般由模拟元器件，如电阻、电容、电感等组成的实际物理系统都是因果系统。在数字系统中对数字信号进行处理时，利用计算机的存储功能，可以逼近非因果系统，从而实现许多模拟系统无法完成的功能，这也是数字系统优于模拟系统的一个方面。

另外，t＜0时为零的信号也称为因果信号。对于因果系统，在因果信号激励下其响应也是因果信号。

3．连续时间系统与离散时间系统

激励与响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统，也称模拟系统；激励与响应均为离散时间信号的系统是离散时间系统。普通的电视机是典型的连续时间系统，而计算机则是典型的离散时间系统。

随着大规模集成电路技术的发展与普及，越来越多的系统是既有连续时间部分又有离散时间部分的混合系统。如图2-6所示为一个混合系统。

4．线性系统与非线性系统

“线性”系统是满足叠加性与齐次性条件的系统。考虑引起系统响应的因素，除了系统的激励之外，还要考虑系统的储能，因此线性系统必须满足以下三个条件。

1）可分解性

线性系统的响应可以分解为零输入响应与零状态响应，即系统响应可表示为

2）零输入线性

输入为零时，由各初始状态{x1（0），x2（0），…，xn（0）}引起的响应满足叠加性与齐次性，若

xk（0–）→yzik（t）（k=1～n）t≥0

则

式（2-3）可用图2-7的方框图表示。

3）零状态线性

初始状态为零时，由各输入激励f1（t），f2（t），…，fm（t）引起的响应具有叠加性与齐次性，即若

fi（t）ε（t）→yzsi（t）ε（t）

则

式（2-4）可由图2-8的方框图表示。

不满足上述任何一个条件的系统都是非线性系统。

如果线性系统满足因果性，那么由t＜0，f（t）=0，可以得到y（t）=0（t＜0）。

【例2-3】已知系统输入f（t）与输出y（t）的关系如下，判断下面的系统是否为线性系统。

（1）y（t）=5x（0–）f（t）ε（t）；

（2）y（t）=4x（0–）+3f2（t）ε（t）；

（3）。

解：（1）不满足可分解性，是非线性系统。

（2）不满足零状态线性，是非线性系统。

（3）满足可分解性、零输入线性、零状态线性，所以该系统是线性系统。

【例2-4】讨论具有如下输入和输出关系的系统是否为线性系统。

y（t）=2+3f（t）

解：f1（t）→y1（t）=2+3f1（t）

f2（t）→y2（t）=2+3f2（t）

f1（t）+f2（t）→y（t）=2+3[f1（t）+f2（t）]≠y1（t）+y2（t）=4+3[f1（t）+f2（t）]

从上述推导，该系统应属非线性系统。但是考虑到f（t）=0时，y（t）=2，若把它看作是初始状态引起的零输入响应，则满足线性系统条件，故该系统是线性的。这个系统的输入和输出关系如图2-9所示。

5．时变系统与非时变系统

从系统的参数来看，系统参数不随时间变化的是时不变系统，也称非时变系统、常参系统、定常系统等；系统参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。

从系统响应来看，时不变系统在初始状态相同的情况下，系统响应与激励加入的时刻无关。即在{x1（0），x2（0），…，xn（0）}时，f（t）→y（t），则在{x1（t0），x2（t0），…，xn（t0）}时，有

时不变系统的输入输出关系可由图2-10表示。由图可见，当激励延迟一段时间t0加入时不变系统时，输出响应亦延时t0才出现，并且波形变化的规律不变。

【例2-5】已知系统激励与响应之间的关系如下，判断该系统是否是时不变系统。

y（t）=cos3t·x（0）+2t·f（t）ε（t）

解：因为初始状态x（0）与激励f（t）ε（t）的系数均不是常数，所以系统是时变系统。